Описание парадокса
Чисто умозрительно любой обыватель думает, что в офисе должно работать никак не меньше полутора сотен человек, чтобы совпадение дня рождения стало наполовину вероятным.
Однако математики говорят неприлично непонятные вещи, которые раздражают наш здравый смысл. Якобы в кучке всего из 23 человек день рождения в один день будет у двоих. И это с вероятностью, даже превышающей 50%.
Хуже того. Вероятность совпадения двух дней рождения достигает 99% знаешь при каком числе? Всего-то 57 сотрудников.
В общем, это типичная иллюстрация того, что теория вероятностей и комбинаторика являются науками контринтуитивными, то есть не согласуются с тем, как видят мир гуманитарии и офисные работники.
Насколько в математической логике все нелогично, демонстрирует еще один пример. У тебя в бухгалтерии 23 сотрудника. И в отделе кадров тоже 23 сотрудника. Вероятность совпадения дней рождения в каждом из отделов — 50%. То есть в сумме оба отдела дадут вероятность в 100%.
Ха-ха, но это не так. Не 100%. Так как бухгалтерия и отдел кадров независимы друг от друга, то вероятность складывается по более сложной формуле (в итоге шанс будет равен трем четвертям, не спрашивай почему).
Переосмысление простых вещей
MAXIM — не математический журнал, так что мы будем оперировать не столько формулами, сколько здравым смыслом.
Вероятность того, что ваш менеджер по продажам бурундуков Афанасий родился 19 октября, крайне мала — 1 из 365 (или из 366, не суть важно).
Вероятность того, что ваш менеджер по продажам макраме Лолита родилась 19 октября, тоже мала — 1 из 365.
Вероятность совпадения дней рождения у двух человек и в самом деле мизерна (в районе одной пятитысячной).
Однако фокус в том, что в офисе работают не два менеджера по продажам, не только Афанасий и Лолита (у них, кстати, тайный роман), а 23 сотрудника!
Вероятность совпадения дней рождения начинает складываться по каждой паре из тех, что можно составить в офисе. А число таких пар можно набрать огромное.
Представь, что Афанасий на картинке — темный кружок. Он ведь может совпасть своим днем рождения не только с Лолитой, но и с любым из 22 сотрудников. То есть, получается, это 22 потенциальные пары только для одного Афанасия. В сумме же из всех работников офиса можно составить 253 разные пары.
А чем больше пар, тем выше вероятность, что с одной из них произойдет что-то приятное — например, совпадет день рождения!
Это важно, поэтому проговорим еще раз. Чем больше людей в офисе, тем выше растут вероятности совпадений. И этот рост более стремительный, чем предполагает наш мозг, полагаясь на одну лишь интуицию!
Вот тебе наглядный пример. Ведь маловероятно, чтобы в одной безлюдной комнате встретились два человека в кроссовках фирмы «Адидас». А в большом офисе на двадцать с лишним человек такое случается сплошь и рядом.
Точные цифры
Математически проще всего считать, отсеивая лишние варианты и вероятности. Стопроцентную вероятность математики обозначают единичкой (то есть один из одного).
Допустим, у Афанасия день рождения 19 октября. Вероятность того, что у Полуэкта день рождения в тот же день — 1 из 365 (1/365).
И наоборот: вероятность того, что у Полуэкта день рождения в другой день, — это 1 минус 1/365. Запишем это как (1-1/365).
Вероятность того, что у третьего работника — Гаврилы — день рождения не совпадает с Афанасием и Полуэктом, чуть-чуть меньше. И записывается как (1-2/365).
Математики в итоге напишут следующую последовательность для расчета:
И получат в итоге при количестве 23 сотрудников число, округленно равное 1/2. Что и требовалось доказать.
Кстати, именно 23 — минимальное число, при котором эта вероятность становится равна 50 (даже чуть выше на самом деле — 50,73%).
Если не веришь, можешь посетить сайт (правда, он англоязычный, но там ничего сложного), где этот парадокс .
